Modulen en Categorieën 2017 on Tumblr

Anonymous asked:

In de oude werkcollege opgavenset voor hoofdstuk 8 staat opgave 8.23 (staat niet in de laatste versie van de syllabus (misschien om deze reden)). Er wordt gevraagd om te bewijzen dat een functor F met een links geadjungeerde die additief is ook links exact is. Ik heb het idee dat de voorwaarde "additiviteit" onnodig is, aangezien we weten dat F(0) = 0 omdat Hom(F0,F0) ~ Hom(FG0,0) ~ {0}, en verder omdat limieten bewaard worden, dus F(kerf) = ker(Ff). Zie ik iets over het hoofd?

Je ziet niks over het hoofd, dit klopt helemaal. (Al is het niet ongebruikelijk om 'links exact' enkel te definiëren voor additieve functoren).

modcat17

Anonymous asked:

In voorbeeld 8.26 staat dat het tweede diagram van 8.24 het gevezelde coproduct oplevert, maar dit moet het codiagram van het tweede diagram van 8.24 zijn.

Dank. Verschillende studenten stelden deze vraag / stuurden deze correctie. Er moest inderdaad staan “de colimiet over de tegengestelde categorieën van die uit 8.24″. Is nu gecorrigeerd.

modcat17

Anonymous asked:

Bij het antwoord op vraag 1 van de vorige post schrijf je "Hieruit kan men afleiden (door een beetje te spelen met ggd’s en kgv’s) dat er een d\in R is met bx=bdy in E". Maar als je bijvoorbeeld het rijtje 0-> z/2z -> z/6z -> z/3z -> 0 neemt met de eerste afbeelding vermenigvuldiging met 3 en de tweede modulo 3 dan voldoen volgens mij x=4 en y = 3 en b=3, maar je kan nooit een d in Z vinden met 12 = bx = bdy = 9d. Waar gaat dit voorbeeld mis?

Neem d=2, dan geldt 12 = 18 (in E=Z/6Z).

modcat17

Anonymous asked:

Ik heb de oefentoets voor categorieën en modulen gemaakt, maar kwam niet uit de implicatie Ann_R(E) = I \cap J => rijtje splitst. Zou u die kunnen uitleggen? Ook zag ik niet dat Alt_Z(Z^2) = Z. Het leek me logischer dat het Z^2 zou zijn omdat je elk element zou kunnen schrijven als: (a,b) \otimes (c,d) = (a(1,0) + b(0,1)) \otimes (c(1,0) + d(0,1)) = ac*(1,0) \otimes (1,0) + bd*(0,1) \otimes (0,1) + ad*(1,0) \otimes (0,1) + bc*(0,1) \otimes (1,0) = ad*(1,0)\otimes (0,1) + bc*(0,1) \otimes (1,0)

Vraag 1: het is handig om hier expliciet te gebruiken dat I en J hoofdidealen zijn. Dus stel I=(a), J=(b), en zij I \cap J = (c) met c het kleinst gemene veelvoud van a en b. We gaan een splijting s:R/J --> E produceren. Zij x\in E een element wat naar 1+J wordt afgebeeld, en zij y\in E het beeld van 1+I. De aanname impliceert dat cx=0. Hieruit kan men afleiden (door een beetje te spelen met ggd’s en kgv’s) dat er een d\in R is met bx=bdy in E. Nu geldt dat de afbeelding s:R/J --> E gegeven door s(1) = x-dy een splijting is. (Vergelijk opgave 2.9) uit de syllabus.

Algemene tip bij dit soort opgaven: probeer het eerst voor R=Z, dan is rekenen met kleinst gemene veelvouden en grootste gemene delers een stuk intuïtiever. Daarna kan je je bewijs terugvertalen naar een algemeen hoofdideaal domein.

Alternatief bewijs: gebruik de klassificatie van eindig voortgebrachte R-modulen, en laat zien dat de enige mogelijkheid voor E die voldoet aan de conditie op Ann_R(E) de directe som E=R/I \oplus R/J is.

Vraag 2: je kan nog een stap verder vereenvoudigen: (1,0)\otimes (0,1) + (0,1)\otimes (1,0) ligt in A (kijk maar naar (1,1)\otimes (1,1)). Dus modulo A is jouw element hetzelfde als (ad-bc) * (1,0)\otimes (0,1).

modcat17

Anonymous asked:

Klopt het dat in definitie 5.11 (pagina 54) in het tweede punt moet staan F(f): FY -> FX ipv FX -> FY? Anders klopt de compositie in (F2') toch niet?

Beste anoniem: heel veel dank voor deze correctie. Er moet inderdaad staan F(f): FY --> FX. Deze typefout heeft ongetwijfeld tot verwarring geleid. Het staat nu correct in de syllabus.

modcat17

Anonymous asked:

Zou het deeltentamen van vorig jaar misschien nog op Blackboard gezet kunnen worden? Alvast bedankt!

Staat nu op blackboard, onder ‘Content’.

modcat17

Anonymous asked:

Op pagina 66 derde regel staat (r,x) |-> r maar er moet staan (r,x) |-> rx

idem.

modcat17

Anonymous asked:

PS: ook voor de stelling wordt gesproken van ''unique composition with a linear map'', waarmee de afbeelding T -> A wordt bedoeld. Als 'R-lineariteit' dus waar nodig wordt vervangen door 'Z-lineariteit' of 'homomorfisme van abelse groepen' dan is dat ook prima

idem.

modcat17

Anonymous asked:

In stelling 6.2 en in het bewijs ervan wordt gesproken van een R-lineaire afbeelding h van het tensorproduct naar een willekeurige abelse groep A... maar noch een tensorproduct noch een abelse groep hoeft een R-moduul te zijn! Dus om te spreken van R-lineariteit is betekenisloos, en een beetje verwarrend. Als het verbeterd zou kunnen worden zou dat fijn zijn :) -- Manuel

Dank -- ik heb het gecorrigeerd. --lt.

modcat17

Anonymous asked:

De zesde set inleveropdrachten (voor vrijdag 24 maart) staat nog niet op Blackboard. Welke opgaven moeten er worden ingeleverd?

Bedankt dat je me erop wijst: 5.8, 5.9, en 5.15, dwz de opgave met functoren tussen BG en BH, de opgave over Z(R), en de opgave over het behoud van finale objecten onder equivalenties. Ik zet het zodadelijk op blackboard.

Met vriendelijke groet,

Wessel Pieter Bindt

modcat17

Anonymous asked:

Moet "sequence" bij opgave 2.9 "short exact sequence" zijn? -Loe

Beste Loe -- inderdaad, de rij moet exact zijn, anders heeft de opgave geen betekenis (want splijten hebben we enkel voor kort exacte rijen gedefinieerd). --lt.

modcat17

Anonymous asked:

Eigenlijk geen vraag: in de syllabus staat soms sub-module (Hoofdstuk 3) en soms submodule (Hoofdstuk 1). En aangezien je hem toch nog aanpast tijdens het vak, wil je dit misschien meteen wel consequent maken.

Dank! Ik heb het aangepast. --lt.

modcat17

Anonymous asked:

Moet bij opgave 1.15 K^I niet K^{(I)} zijn?

Het staat er goed: K^{(I)} heeft een aftelbare voortbrengende verzameling (bijvoorbeeld de standaardbasis), maar K^I niet.